Ισότητα τριγώνων

Α' Λυκείου	Γεωμετρία	Ισότητα τριγώνων
Θέμα: Μπορείτε να κατασκευάσετε τρίγωνο ίσο προς το δοθέν ΑΒΓ, χρησιμοποιώντας μόνο δύο πλευρές του και την περιεχόμενη γωνία του (π.χ. ΑΒ, ΑΒ και $\hat{ΒΑΓ}$), και να παραμένει ίσο σε κάθε δυναμική μεταβολή του ΑΒΓ;
Οδηγίες: Προτείνεται, να εργαστείτε σε δύο περιβάλλοντα. Στο περιβάλλον λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας, που εμφανίζεται παρακάτω, και στο περιβάλλον του χαρτιού με το μολύβι και τα γεωμετρικά σας όργανα (κανόνα και διαβήτη).  Ιδανικά, είναι χρήσιμο να εργαστείτε πρώτα στο περιβάλλον του λογισμικού και μετά στο περιβάλλον του χαρτιού σας ή και παράλληλα. Αυτό θα σας βοηθήσει να συνειδητοποιήσετε καλύτερα τις γεωμετρικές προτάσεις που πρέπει να χρησιμοποιήσετε στην κατασκευή και να περάσετε ευκολότερα από τις οπτικές στις νοερές διεργασίες.       Στο παρακάτω ψηφιακό περιβάλλον μπορείτε να αξιοποιήσετε τα διαθέσιμα εργαλεία και να πειραματιστείτε με την κατασκευή του τριγώνου ίσου προς το δοθέν ΑΒΓ. Το ζητούμενο είναι το τρίγωνο που θα κατασκευάσετε να είναι ίσο με το δοθέν σε κάθε μεταβολή του δοθέντος. Στο περιβάλλον του χαρτιού, χρησιμοποιείστε τα γεωμετρικά όργανα με ανάλογους τρόπους.     Η ορθότητα της κατασκευής μπορεί να πιστοποιηθεί με την μέθοδο της ταύτισης. Και αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: Στο μεν περιβάλλον του λογισμικού με προσαρμογή (σύρσιμο και στροφή) του ενός σχήματος πάνω στο άλλο, Στο περιβάλλον του χαρτιού με το μολύβι και τα γεωμετρικά όργανα αυτό μπορεί να γίνει με αποτύπωση και προσαρμογή ή με ανάλογη νοητική προσαρμογή και εξήγηση ότι θα ταυτιστούν. Τέλος, ο ορθότητα της κατασκευής ολοκληρώνεται με την διατύπωση μιας γενικής πρότασης για την ισότητα δύο τριγώνων και την απόδειξή της στο πλαίσιο της Ευκλείδειας γεωμετρίας.        Ακόμα, αξιοποιείστε επίσης τα παρακάτω βίντεο που αφορούν την κατασκευή ευθ. τμήματος ίσου προς δοθέν και κατασκευή γωνίας ίση προς δοθείσα.  Κατασκευή ευθ. τμήματος ίσου προς δοθέν.  Κατασκευή γωνίας ίση προς δοθείσα
Πειράματα και διερευνήσεις: Τα πειράματα και οι διερευνήσεις που ακολουθούν, προτείνεται να γίνονται και στο περιβάλλον του λογισμικού, με τα διαθέσιμα εργαλεία, αλλά και στο χαρτί με το μολύβι και τα γεωμετρικά όργανα. Και στις δύο περιπτώσεις καλό είναι να καταγράφεται η ακολουθία των ενεργειών σας.     Μπορείτε να κατασκευάσετε μια γωνία $\hat{χΔψ}$ ίση με την $\hat{ΒΑΓ}$ του δοθέντος τριγώνου στο περιβάλλον του λογισμικού;  Στο χαρτί σας σχεδιάστε ένα τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ, ως δοθέν, και στη συνέχεια με τη χρήση μόνο κανόνα (αβαθμολόγητου) και διαβήτη να κατασκευάσετε μια γωνία $\hat{χΔψ}$  ίση με την $\hat{ΒΑΓ}$ του δοθέντος τριγώνου. Ποιες γεωμετρικές προτάσεις χρησιμοποιήσατε για την κατασκευή της γωνίας;  Μπορείτε στις πλευρές της γωνίας που κατασκευάσατε να ευθ. τμήματα ΔΕ και ΔΖ ίσες με τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, και στα δύο περιβάλλοντα; Το τρίγωνο ΔΕΖ που κατασκευάστηκε είναι ίσο με το δοθέν στις δύο περιπτώσεις και γιατί;
Συζήτηση στην τάξη:  1. Ισχυρισμοί, αντιπαραθέσεις και επιχειρηματολογίες Παρουσιάστε στην τάξη σας ή στην ομάδα σας, την ακολουθία των ενεργειών σας για την κατασκευή τριγώνου, με την χρησιμοποίηση μόνο δύο πλευρών και της περιεχομένης γωνίας (Πλευρά-Γωνία-Πλευρά) του δοθέντος τριγώνου ΑΒΓ και εξηγήστε γιατί τα δύο τρίγωνα είναι ίσα.   Αφού δείτε εδώ σχετικό βίντεο με την σχετική κατασκευή, περιγράψτε τις ομοιότητες και τις διαφορές με τις  δικές σας κατασκευές.  Εξηγήστε γιατί τα δύο τρίγωνα είναι ίσα, και στις δύο περιπτώσεις, καθώς και σε τι διαφέρουν οι κατασκευές στα δύο περιβάλλοντα.  Επιχειρηματολογήστε για τα εξής: Από τα υπόλοιπα στοιχεία του αρχικού τριγώνου, ποια είναι ίσα με ποια από τα στοιχεία του τριγώνου που κατασκευάσατε; Πόσα τρίγωνα, ίσα με το δοθέν, μπορείτε να κατασκευάσετε με τα τρία αυτά στοιχεία; Κάποιος ισχυρίζεται ότι:  Δύο τρίγωνα, στα οποία οι δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία του ενός είναι αντίστοιχα ίσες με δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία του άλλου, είναι ίσα. Είναι σωστός ο ισχυρισμός; Μπορείτε να αιτιολογήσετε (αποδείξετε) γιατί τα δύο τρίγωνα ταυτίζονται;  2. Επεκτάσεις Επαναλάβετε τα παραπάνω πειράματα και τις διερευνήσεις για τις περιπτώσεις αξιοποίησης μόνο μιας πλευράς και των προσκείμενων γωνιών του ΑΒΓ (Γ-Π-Γ) και μόνο των τριών πλευρών του ΑΒΓ (Π-Π-Π).  Επιχειρηματολογήστε: Για τις προτάσεις της γεωμετρίας που χρησιμοποιήσατε στις δύο κατασκευές. Επιχειρηματολογήστε για την ορθότητα των κατασκευών σας στις δύο περιπτώσεις. Διατυπώστε γενικά συμπεράσματα για την ισότητα δύο τριγώνων.  Η ταύτιση δύο τριγώνων συνεπάγεται την ισότητα των πλευρών του, μια προς μια, και των γωνιών του επίσης μια προς μια. Μπορείτε να διατυπώσετε ένα συμπέρασμα σχετικό με τον τρόπο που συνδέονται οι ίσες πλευρές και οι ίσες γωνίες δυο τέτοιων τριγώνων;   3. Περαιτέρω διερευνήσεις, συζητήσεις και επεκτάσεις Μπορείτε να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ίσο με το δοθέν με την χρησιμοποίηση μόνο δύο πλευρών του;  Στην περίπτωση αυτή (δείτε εδώ ) συζητήστε αν είναι αρκετά τα δύο αυτά στοιχεία και αν όχι, τι άλλο χρειάζεται ακόμα να χρησιμοποιηθεί από το δοθέν τρίγωνο. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί δεν φτάνουν οι δύο πλευρές και γιατί χρειάζεται η χρήση ενός ακόμα στοιχείου; Με βάση το προηγούμενο ερευνήστε και για άλλες περιπτώσεις χρησιμοποίησης δύο στοιχείων του αρχικού.  Στο βίντεο που προτείνεται εδώ παρουσιάζεται η κατασκευή τριγώνου ίσου προς δοθέν με την χρησιμοποίηση δύο πλευρών (ΑΒ, ΑΓ) και την γωνία $\hat{ΑΒΓ}$ του δοθέντος.  Μπορείτε να επαναλάβετε την κατασκευή στο χαρτί με τα γεωμετρικά σας όργανα; Μπορείτε να αποδείξετε ότι στην περίπτωση αυτή τα δύο τρίγωνα είναι πάντοτε ίσα; Σε τι διαφέρει η συγκεκριμένη κατασκευή από τις προηγούμενες τρεις (ΠΓΠ,ΓΠΓ, ΠΠΠ); Συζητήστε στην τάξη ή στην ομάδα σας για τις γεωμετρικές κατασκευές με κανόνα και διαβήτη, καθώς και τις διαφορές που έχει σε σχέση την αντίστοιχη κατασκευή στο περιβάλλον του λογισμικού.   Συζητήστε στην τάξη ή στην ομάδα σας για τις τρεις περιπτώσεις ισότητας τριγώνων (ΠΓΠ, ΓΠΓ, ΠΠΠ) ως θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, καθώς και την απόδειξή τους.    4. Εφαρμογές Στο παρακάτω σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και το τμήμα ΑΔ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην ΒΓ. Μπορείτε να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα;  Ποια άλλα στοιχεία των δύο τριγώνων είναι ίσα; Είναι η ΑΔ διχοτόμος, και γιατί; Είναι η ΑΔ ύψος, και γιατί;  Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Μπορείτε να αποδείξετε ότι τα δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα;  Ποια στοιχεία του παραλληλογράμμου είναι μεταξύ τους ίσα;