Προσέγγιση του π - Μέθοδος Αρχιμήδη

B' Λύκειο	Γεωμετρία	Η σταθερά π
Θέμα: Ποια είναι η περίμετρος και το εμβαδόν κύκλου, καθώς προσεγγίζεται από κανονικά εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα;  Τι διατηρείται σταθερό καθώς μεταβάλλεται η ακτίνα του κύκλου;
Οδηγίες: Στην παρακάτω εφαρμογή μπορείτε να μεταβάλετε την ακτίνα ρ του κύκλου ή το πλήθος n των κανονικών εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων σε αυτό, αφού επιλέξετε πρώτα το κουτί "Εγγεγραμμένο" ή "Περιγεγραμμένο". Με τα κουτιά "Υπολογισμός" μπορείτε να παρακολουθείτε την περίμετρο, το εμβαδόν καθώς και τους λόγους $\frac{Περίμετρος}{Διάμετρος}$ και  $\frac{Εμβαδόν}{(Ακτίνα)²}$. Με το κουτί "Σύγκριση" μπορείτε να κάνετε σύγκριση των υπολογισμών.
Πειράματα και διερευνήσεις: Επιλέξτε το κουτί "Εγγεγραμμένο". Τι συμβαίνει καθώς μεγαλώνετε το πλήθος των πλευρών του εγγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου με τον δρομέα n; Επιλέξτε "Υπολογισμοί" και επαναλάβατε το προηγούμενο πείραμα. Τι συμβαίνει με τα 4 μεγέθη, Περίμετρος, $\frac{Περίμετρος}{Διάμετρος}$, Εμβαδόν και  $\frac{Εμβαδόν}{(Ακτίνα)²}$ ;  Τι αλλάζει και τι παραμένει σταθερό καθώς μεταβάλετε την ακτίνα του κύκλου; Επιλέξτε το κουτί "Περιγεγραμμένο" και επαναλάβατε τα προηγούμενα πειράματα.  Επιλέξτε το κουτί "Σύγκριση" και μεταβάλετε (1) τον αριθμό n του πλήθους των πλευρών των κανονικών πολυγώνων και (2) την ακτίνα του κύκλου. Τι παρατηρείτε σχετικά με την διαφορά των περιμέτρων και των εμβαδών του περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κ. πολυγώνων; Ποιο είναι το γενικό σας συμπέρασμα για την μέτρηση του κύκλου (περίμετρος και εμβαδόν);
Συζήτηση στην τάξη: Τι παραμένει σταθερό σε ένα κύκλο που μεταβάλλεται η ακτίνα του; Φαίνεται ότι ο λόγος $\frac{Περίμετρος}{Διάμετρος}$ και ο λόγος $\frac{Εμβαδόν}{(Ακτίνα)²}$ είναι ίσοι. Μπορείτε να γράψετε έναν τύπο για τον υπολογισμό της περιμέτρους και του εμβαδού ενός κύκλου από την ακτίνα του;  Αν συνεχίσουμε να μεγαλώνουμε το πλήθος των πλευρών των κανονικών πολυγώνων που εγγράφονται και περιγράφονται στον κύκλο οι λόγοι $\frac{Περίμετρος}{Διάμετρος}$ και  $\frac{Εμβαδόν}{(Ακτίνα)²}$ τείνουν προς ένα σταθερό αριθμό που ονομάζεται π (Pi). Τι γνωρίζετε για αυτήν την μαθηματική σταθερά;